La mayoría de las tazas del enfriador de agua se usan una vez y luego se desechan, por lo que para minimizar el desperdicio, usted quiere tener el mínimo de papel para el mayor volumen. Por lo tanto, este es un problema de optimización simultánea del área superficial de un cilindro y un cono para el volumen dado.
Este enlace proporciona la ecuación para optimizar la relación superficie / volumen de un cilindro:
¿Cuál es una regla para un cilindro con la superficie más pequeña para un volumen dado?
[math] r_ {1} = \ sqrt [3] {\ frac {V} {2 \ pi}} [/ math]
De manera similar, este enlace proporciona la ecuación para optimizar la relación superficie / volumen de un cono:
minimizando el área lateral de un cono con volumen fijo
[math] r_ {2} = \ sqrt [3] {\ frac {3V} {\ sqrt {2} \ pi}} [/ math]
Ahora digamos que queremos tener tazas que sean unas buenas 8 pulgadas cúbicas redondas, que son aproximadamente 4.4 onzas fluidas de EE. UU. (Una aproximación lo suficientemente buena para el tamaño estándar de 4 onzas), que da los siguientes radios óptimos:
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[math] r_1 = 1.3656 in. [/ math]
[math] r_2 = 1.7546in. [/ math]
Al volver a conectar esto a las fórmulas para el área de superficie lateral, se obtiene lo siguiente:
Cilindro – [matemáticas] A_ {1} = \ pi r_ {1} ^ {2} +2 \ frac {V} {r_ {1}} [/ math]
[math] = \ pi \ left (1.3656in. \ right) ^ {2} +2 \ frac {8in. ^ {3}} {1.3656in.} [/ math]
[math] = 5.8586in. ^ {2} +2 \ cdot 5.8582in. ^ {2} [/ math]
[math] = 17.5751 in. ^ {2} [/ math]
Cono – [matemáticas] A_ {2} = r_ {2} \ sqrt {\ left (\ pi r_ {2} \ right) ^ {2} +9 \ frac {V ^ {2}} {r_ {2} ^ {4}}} [/ math]
[math] = 1.7546in. \ cdot \ sqrt {\ left (\ pi \ cdot 1.7546in. \ right) ^ {2} +9 \ frac {\ left (8in. ^ {3} \ right) ^ {2} } {\ left (1.7546in. \ right) ^ {4}}} [/ math]
[math] = 1.7546in. \ cdot \ sqrt {\ left (5.5122in. \ right) ^ {2} +9 \ frac {64in. ^ {6}} {9.4779in. ^ {4}}} [/ math ]
[math] = 1.7546in. \ cdot \ sqrt {30.3843in. ^ {2} + 60.7730in. ^ {2}} [/ math]
[math] = 1.7546 in. \ cdot 9.5476in. [/ math]
[math] = 16.7523 in. ^ {2} [/ math]
Para un volumen dado, entonces, un cono es un área superficial ligeramente más eficiente, en aproximadamente un 5%.
De hecho, el siguiente artículo hace algunas matemáticas más complicadas para mostrar que un cilindro cónico / cono truncado es incluso más eficiente que un cilindro puro o un cono puro, quizás por eso las cosas como vasos de papel y cubos suelen tener un borde ligeramente más ancho que El fondo:
http://datagenetics.com/blog/jan…
Sin embargo, esta pequeña mejora en la eficiencia no explica completamente la diferencia considerable en el precio. Por ejemplo, las tazas cónicas son solo $ 6 por 200:
SOLO tazas de cono de papel de 4 oz
Mientras que las copas cilíndricas son un 20% más caras a aproximadamente $ 7.50 por 200:
Solo 4 oz tazas de papel frías
La diferencia es aún mayor cuando se compran grandes cantidades. Las tazas cónicas son solo $ 90 por 5,000:
SOLO tazas de cono de papel de 4 oz
Mientras que las copas cilíndricas son más del doble del precio en $ 193 por 5,000:
SOLO tazas de agua de papel de 4 oz
En la práctica, vale la pena señalar que las copas de papel pueden no usar los radios óptimos, por lo que dependiendo de la relación de radio a altura, la mejora en la eficiencia de la copa de cono podría ser incluso mayor en comparación con una taza cilíndrica mal diseñada con un óptimo proporción.
Un cono es más fácil de hacer ya que solo tiene una costura que debe pegarse. Por lo tanto, la maquinaria para fabricar vasos cónicos también puede ser mucho más simple, lo que da como resultado menos averías y menos mantenimiento, etc., lo que finalmente produce un producto terminado más barato.
También está la cuestión del material desperdiciado. Los fondos circulares de las copas cilíndricas dejarán una gran cantidad de residuos cuando se perforan en una hoja de papel. Además, los lados no están en ángulos rectos perfectos, por lo que hay cierta curvatura que también conduce al desperdicio. Por otro lado, cada copa de cono está hecha de una sola pieza semicircular que puede cortarse de manera más eficiente de una hoja de papel que círculos completos.
Otra consideración es la fuerza de los materiales. La resistencia natural de una sección transversal triangular significa que un cono puede estar hecho de papel mucho más delgado a la vez que mantiene la fuerza suficiente para retener el agua. El cilindro debe ser mucho más grueso para mantener su forma.
Teniendo en cuenta todos estos factores, la copa de cono siempre será la opción más simple y barata.
Los cilindros tienen una ventaja principal que pueden establecerse, lo que significa que es posible reutilizarlos. Si bebe varias tazas de agua durante el día, la taza cilíndrica reutilizable producirá mucho menos desperdicio y compensará el costo adicional. Sin embargo, esto no funciona en el caso de salas de espera, eventos atléticos de aficionados, obras de construcción u otras situaciones en las que la gente va y viene o no hay ningún lugar adecuado para dejar una taza para su posterior reutilización.
Por supuesto, en situaciones en las que es posible reutilizar una taza de un día para otro, como una oficina, tienda, almacén, garaje, etc., la mejor solución es tener una taza duradera y reutilizable para que los residuos puedan eliminarse por completo. . Por $ 6, puede comprar una taza que durará más de 200 bebidas de agua y que también proporciona aislamiento para bebidas calientes como el café y el té.
