¿A qué profundidad tendrías que llenar una cucharadita perfectamente hemisférica para tener exactamente media cucharadita?

Lo geométrico que estás buscando es un casquete esférico.

Un hemisferio sería un límite donde h = a = r.

(Para llenar una cucharilla, piense que el segmento azul está en la parte inferior, para que el contenido no se derrame).

El volumen de una esfera es:

[matemáticas] V = \ frac {4 \ pi} {3} r ^ 3 [/ math]

Entonces un hemisferio es

[matemáticas] V_h = \ frac {2 \ pi} {3} r ^ 3 [/ math]

y exactamente la mitad de esa cucharadita hemisférica (1/4 de esfera) será

[matemáticas] V_4 = \ frac {\ pi r ^ 3} {3} [/ math]

El volumen de un casquete esférico es

[matemáticas] V_ {sc} = \ frac {\ pi h} {6} (3a ^ 2 + h ^ 2) [/ math]

Pero r, a y h están relacionados por un triángulo, y:

[math] r = \ frac {a ^ 2 + h ^ 2} {2h} [/ math]

entonces, sustituyendo [math] a ^ 2 [/ math], obtenemos [math] V_ {sc} [/ math] en términos de h:

[matemáticas] V_ {sc} = \ frac {\ pi h ^ 2} {3} (3r – h) [/ math]

Si dejamos que h sea una fracción (b) de r, entonces:

[matemáticas] h = br [/ math]

[matemáticas] V_ {sc} = \ frac {\ pi b ^ 2 r ^ 2} {3} (3 r – br) = \ frac {\ pi b ^ 2 r ^ 3} {3} (3 – b) [/mates]

Configuración [matemática] V_ {sc} = V_4 [/ math]

[matemáticas] \ frac {\ pi b ^ 2 r ^ 3} {3} (3 – b) = \ frac {\ pi r ^ 3} {3} [/ math]

Eliminando [matemáticas] \ frac {\ pi r ^ 3} {3} [/ math]:

[math] b ^ 2 (3 – b) = 1 [/ math]

[math] b ^ 3 – 3 b ^ 2 + 1 = 0 [/ math]

Como b es la fracción de r que llenamos la cucharilla, podemos resolver esto para el rango
[matemáticas] 0 <b <1 [/ math]:

La función es igual a cero en b = 0.652704

ASÍ

Para llenar una cucharilla semiesférica hasta la mitad, llénela al 65%, o aproximadamente 2/3, de la distancia desde el fondo de la cuchara.

Esfera – Wikipedia

Casquillo esférico – Wikipedia