¡Puedes estimar esto usando los factores de escala apropiados! Para aquellos que quieren la respuesta corta, tomaría alrededor de 1000 veces más mezclar sin agitar .
En casi cualquier sistema, la difusión limita la velocidad a la que todo se mezclará por completo. El proceso de difusión obedece a una relación de escalado como esta:
[1] [matemáticas] t = \ frac {L ^ 2} {D} [/ math]
fueron [matemáticas] D [/ math] es la difusividad (que tiene valores del orden de [matemáticas] 1 \ times10 ^ {- 5} ~ \ text {cm} ^ 2 / \ text {sec} [/ math]) y [matemática] L [/ math] es una longitud que describe la taza. La clave de este análisis será determinar cuál debe ser la escala de longitud adecuada.
Una suposición ingenua en la escala de longitud sería el tamaño de la taza. Digamos que una taza de café típica tiene alrededor de 7 cm de diámetro. Al tapar este valor, obtienes una escala de tiempo de aproximadamente [math] 5 \ times10 ^ 6 [/ math] seconds, ¡o más de 1000 horas! Esto debería decirle que este análisis probablemente sea incompleto. Cuando vierta leche fría en el café caliente, la leche fría se hundirá en el fondo de la taza, lo que facilitará la mezcla. Necesitamos ir más allá y descubrir una mejor escala de tallas.
Los flujos naturales de la convección natural mezclan la mayor parte de la taza bastante bien, pero siempre queda una pequeña cantidad cerca de los bordes de la taza donde el fluido no fluye tan rápido. En esta región, la difusión aún domina y es el paso limitante de la velocidad. Para estimar el grosor de la capa límite, necesitamos saber qué tan rápido se mueve el flujo. Si nos enfocamos exclusivamente en los efectos térmicos, ese índice de flujo viene dado por
El aroma del café es repulsivo. ¿Cómo puedo cambiar esto?
Bebo 2 tazas de café todos los días. ¿Es perjudicial o inofensivo para mi salud?
¿Puedo darle a mi hijo de 9 años café descafeinado en leche para darle sabor?
[2] [matemáticas] v = \ sqrt {g \ beta \ Delta TL} [/ math]
donde [math] g [/ math] es la aceleración debida a la gravedad, [math] \ beta [/ math] es el coeficiente de expansión térmica volumétrica, y [math] \ Delta T [/ math] es la diferencia de temperatura entre el fluidos calientes y fríos. Los coeficientes de expansión térmica tienden a ser de alrededor de [math] 1 \ times10 ^ -4 ~ \ text {K} ^ {- 1} [/ math] y digamos [math] \ Delta T [/ math] es de aproximadamente 100 grados C Esto nos da una velocidad de alrededor de 0.5 cm / s para la convección natural.
Para el grosor de la capa límite, voy a utilizar la relación simple de la capa límite de Blasius modificada para el transporte masivo. Esta no es la mejor relación por una serie de razones, pero creo que es suficiente en este caso. El grosor de la capa límite entonces es
[math] \ delta \ approx \ sqrt {\ frac {D} {v}} [/ math]
que es aproximadamente 0.005 cm. Probablemente sea demasiado pequeño, así que lo multiplicaré arbitrariamente por 2 para hacerlo más manejable.
Al tapar este valor en la primera ecuación para una escala de tiempo, obtenemos que la nueva escala de tiempo debe ser de alrededor de 1000 segundos o alrededor de 15 minutos. Esto me parece bastante razonable, pensaría.
De acuerdo, entonces, ¿cómo modificaríamos este análisis para incluir la agitación? Tendríamos que corregir la estimación de velocidad. Probablemente removeré mi café a aproximadamente 50 RPM, lo que se traduce en una velocidad lineal de alrededor de 5 m / s (500 cm / s). Esto es 1000 veces más rápido que la convección natural, lo que se traduce en una capa límite 30 veces más delgada y una mezcla de hasta 1000 veces más rápida. Entonces, lo que le lleva unos segundos revolver puede tomar hasta una hora lograrlo simplemente sentándose allí.
Notas sobre ecuaciones:
[1] Quizás te estés preguntando de dónde viene esto. Resulta ser una técnica matemática similar a la utilizada por Blasius. Si desea resolver la concentración a lo largo del tiempo en un sistema 1-D donde de repente introduce material en un extremo del sistema, puede colapsar las soluciones de tiempo y espacio en una solución para una variable. Esto se llama una solución de similitud y la variable de similitud en este caso es [math] \ eta = \ frac {x} {\ sqrt {D t}} [/ math]. La solución al campo de composición en términos de eta es [math] C (\ eta) = 1 – \ text {erf} (\ eta / 2) [/ math] donde erf denota la función de error. Cuando [math] \ eta = 1 [/ math], el valor de C es aproximadamente la mitad del camino hacia donde va, lo cual es una buena indicación de que el sistema está bastante bien mezclado en ese punto del espacio o hora. Si desea que el tiempo que tarda la difusión en llegar a cierta distancia, simplemente configure [math] \ eta [/ math] igual a 1 y conecte la escala de longitud que desee.
Puede ver otras escalas para estimar escalas de tiempo / duración de difusión y especialmente aquellas que traen ese factor de la mitad a la solución de modo que [matemática t = \ frac {L ^ 2} {4D} [/ math]. Esto también es perfectamente válido, pero para una aplicación diferente. En este caso, está buscando cuando un punto ha alcanzado el 15% del valor con el que finalmente se acercará. Alternativamente, incluso podría dividir nuevamente por 4 para que [math] t = \ frac {L ^ 2} {16D} [/ math] en cuyo punto estaría buscando el primer aumento del 1% en la concentración en un punto . En este caso, estamos buscando un punto más bien mezclado en el tiempo, por lo que descuidar el factor de 4 o 16 es apropiado.
[2] Esta ecuación se puede encontrar a través del análisis dimensional simple de las cantidades relevantes involucradas en la convección natural. Más formalmente, esta escala de velocidad proviene de expresar el número de Grashof como el cuadrado del número de Reynolds. Para la convección natural pura, especialmente en una geometría confinada, el número de Grashof es en realidad mucho más grande que el cuadrado del número de Reynolds, por lo que esta velocidad es probablemente una sobreestimación. Teniendo esto en cuenta, su café puede tardar una hora o más en mezclarse por completo.
