La vida media de la cafeína es de 5 horas. ¿Cuándo se reducirá la cafeína al 10% de lo que originalmente estaba allí? ¿Cuándo no quedará ninguno?

Sabemos que el modelo general para la cantidad final de una sustancia con semivida [matemática] h [/ matemáticas] horas y cantidad inicial [matemática I] [/ matemáticas] después de [matemáticas] t [/ matemáticas] horas puede expresarse como

[matemáticas] A (t) = I (\ frac {1} {2}) ^ {\ frac {t} {h}} [/ math]

Es posible que te desanime el hecho de que no tenemos ningún valor para la cantidad inicial; sin embargo, el [matemático] 10% [/ math] nos dice todo lo que necesitamos. Podemos representar [matemáticas] A [/ math], el monto final en términos de [matemáticas] I [/ math]; porque [matemáticas] A [/ math] debería ser [math] 10% [/ math] de [math] I [/ math], podemos decir que [math] A = 0.1I [/ math]:

[matemáticas] 0.1I = I (\ frac {1} {2}) ^ {\ frac {t} {5}} [/ math]

[math] 0.1 = (\ frac {1} {2}) ^ {\ frac {t} {5}} [/ math]

[math] \ ln (0.1) = \ frac {t} {5} \ cdot \ ln \ frac {1} {2} [/ math]

[math] \ boxed {t = \ frac {5 \ ln 0.1} {\ ln {1} {2}} \ approx 16.61 \ text {hours}} [/ math]

Con este tipo de problema, siempre es útil realizar un “control de la realidad”, asegurándose de que la respuesta parezca lógica; de acuerdo con lo que se nos ha dado, podemos deducir que la respuesta debe ser más de [matemáticas] 5 [/ matemáticas] horas (esta es la vida media); por lo tanto, esto se ve bien.

En cuanto a cuando la muestra llega a [matemática] 0 [/ math], sabemos que esto nunca sucederá: si algo continúa a la mitad, ¡nunca llegará a cero!