Óptica: ¿Por qué a veces se forma un corazón en una taza de café?

Las otras dos respuestas son buenas. Algunas adiciones Para la taza de café es mejor considerarla como luz paralela desde un punto en el infinito en lugar de una fuente puntual. Esto haría que los cálculos explícitos sean un poco más fáciles.

Para una explicación de alto nivel, podemos ver la teoría de la catástrofe. Esta teoría describe el comportamiento local de los mapas y encuentra patrones comunes. Considere un mapa del avión al avión. Para s , t el número real M ( s , t ) da un punto en el plano. (Así que esto es un poco como una función con salida 2D).

Podemos describir los rayos de luz con un mapa de este tipo, ya que un rayo particular puede ser el tiempo desde la fuente de luz, efectivamente la distancia desde la fuente de luz. El otro parámetro s da el rayo particular, para una fuente puntual este podría ser el ángulo en que el rayo dejó la fuente. Arreglando s entonces M ( s , t ) describe la trayectoria del rayo.

Vamos a imponer algunas restricciones en el mapa para que no tenga saltos repentinos (continuos) y también que existan todas sus derivadas (sin problemas). Lejos de los bordes de la taza de café, nuestro mapa de rayos de luz satisface esto.

Ahora define las dos funciones de coordenadas f , g con [matemáticas] M (s, t) = (f (s, t), g (s, t)) [/ math] y considera la matriz de derivadas parciales

[matemáticas] \ begin {pmatrix}
\ frac {\ partial f} {\ partial s} & \ frac {\ partial f} {\ partial s} \\
\ frac {\ partial g} {\ partial s} & \ frac {\ partial g} {\ partial t}
\ end {pmatrix} [/ math]

llamada matriz jacobiana. Si esto no es singular, entonces se dice que el Mapa no es singular: se comporta bien y es aproximadamente como el mapa de identidad (después de rotaciones, escalado, etc.). Este es el comportamiento normal lejos del borde del cáustico. Las cosas se ponen interesantes si la matriz es singular y vemos aparecer las diferentes catástrofes elementales de Rene Thom.

El más simple de estos es la catástrofe doble. El ejemplo más simple de esto es el mapa [matemático] M (s, t) = (s, t ^ 2) [/ math] donde todos los puntos se asignan al semiplano superior. Un ejemplo más cercano a la situación de salida es [matemática] M (s, t) = (s + t, st) [/ math] tenga en cuenta que para un s fijo esto describe una línea recta que es lo que un rayo de luz debería hacer.

El mapa ( s + t , st ) que muestra los rayos para diferentes valores de s . Si miramos la matriz de derivadas parciales en (0,0) vemos que es
[math] \ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix} [/ math] claramente singular.

La siguiente catástrofe más compleja es la cúspide, aquí un ejemplo es ( s ^ 2 + t , st ) nuevamente la matriz de las primeras derivadas es singular y también hay condiciones de la segunda derivada.

Es un mapa de cúspide que está viendo en la taza de café.

Hay una gran cantidad de maquinaria matemática de alta potencia que muestra que estos son los dos ejemplos más simples y, además, es de esperar que ocurran, en lugar de otros patrones (a menos que se trate de un caso particular raro).

Podrías hacer las sumas, descubrir las ecuaciones de los rayos de luz reflejados por una copa circular. Encuentra el cáustico al encontrar dónde desaparece la matriz de los primeros derivados. Es un poco desordenado pero posible.