¿Alguno de los mejores restaurantes italianos pone frascos de parmesano pre-rallado en la mesa de un restaurante?

Sí, es bastante común.

En italiano se llama “formaggiera” y se ve así (más una cucharadita de tomar el queso y espolvorear en el plato, falta en esta imagen):

Cada restaurante en Italia, barato o superior, pone un tarro de Parmigiano Reggiano o Grana Padano (“parmesano” es ilegal, en Italia) sobre la mesa. Y pan también, y sal y pimienta y aceite de oliva virgen extra y vinagre.

Es normal. Si, por alguna razón, falta, el camarero se disculpa y trae a la vez.