¿Los picos evolucionaron independientemente?

Sí, Cephalopoda tiene picos. Aquí hay una imagen de un pico gigante de calamar de Humboldt

Depende de tu definición de pico 😉

Además de los casos mencionados (cefalópodos y ornitorrincos), algunos dinosaurios tenían picos. Y no los carnívoros que se cree que han dado origen a las aves, que de todos modos comenzaron con los dientes. (Ver Fósil de rastreo por cualquier otro nombre, Dinosaurio con colmillos era ligero y vegetariano [Video], por ejemplo).

Y encuentras picos entre los pterosaurios, a veces combinados con dientes.