¿El árbol del pan es una fruta o un vegetal?

Sí.
Botánicamente es una fruta.
Culinariamente es un vegetal maduro pero no maduro, como berenjenas, tomates, pepinos, calabazas, pimientos, etc., pero una fruta culinaria cuando está madura.

Vegetal

Vegetal es un término culinario.
Su definición no tiene ningún valor científico y es algo arbitraria y subjetiva …

Dado que “vegetal” no es un término botánico, no hay contradicción en referirse a una parte de la planta como una fruta, mientras que también se considera un vegetal.