Estoy de acuerdo con Joshua Engel en que no se puede calcular explícitamente [math] \ pi [/ math], pero se puede usar hot dogs congelados para estimar el valor de [math] \ pi [/ math].
Sin embargo, difiero de Joshua en un punto: ¡su método sugerido suena como un dolor en el culo!
Hay una manera mucho más fácil e intuitiva, todo lo que se necesita es un montón de perritos calientes, un gran espacio vacío y una forma de marcar algunas áreas en el espacio vacío (supongo que se podría usar perritos calientes como marcadores, pero eso podría confunde).
Lo que vamos a hacer es algo que se llama Integración Monte Carlo. Cada vez que vea la frase “Monte Carlo X”, significa que está resolviendo el problema X mediante el uso de números aleatorios.
En este caso, debe marcar un gran cuadrado en su espacio abierto.
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Luego, necesitas dibujar un círculo confinado dentro de este cuadrado:
El próximo paso, y espero que esto sea obvio para todos ustedes:
Tira todas tus salchichas congeladas al azar al cuadrado
Sí. Me escuchas.
Ahora, puedes estar diciendo:
¿Por qué diablos arrojé salchichas al suelo? ¿Cómo ayuda esto?
Tengan paciencia conmigo.
El siguiente paso es contar la cantidad de salchichas dentro del círculo .
Para mi caso, esto es 13 (contando la parte superior derecha como adentro – el centro está justo a la izquierda de la línea)
Luego, contamos el total de salchichas dentro del cuadrado: 17.
Ahora – hacemos una geometría muy básica.
Denotemos la longitud del cuadrado como “[math] 2 [/ math] [math] a [/ math]”. Por lo tanto, el cuadrado tiene el área [math] A_ {sq} = [/ math] [math] 4a ^ 2 [/mates].
El círculo está encerrado en el cuadrado y, por lo tanto, tiene un radio de [math] a [/ math]; por lo tanto, [math] A_ {c} = \ pi a ^ 2 [/ math]
Ahora, el bit crítico:
Si las salchichas se distribuyen aleatoria y uniformemente, entonces la probabilidad de encontrar una salchicha en una región dada es directamente proporcional al área de la región.
Por lo tanto, dado que el cuadrado es un factor [matemático] \ frac {4} {\ pi} [/ math] más grande que el círculo, cabría esperar que exista [math] \ frac {4} {\ pi} [/ math ] ¡ más salchichas en la plaza!
Ahora, debido a que esta es una prueba aleatoria, habrá fluctuaciones estadísticas lejos de este valor esperado, por lo que nuestra respuesta no será exacta , sin embargo, a medida que arrojemos más y más salchichas, será una mejor y mejor aproximación.
Poniendo esto en el lenguaje de las matemáticas:
[matemáticas] \ frac {\ pi} {4} \ approx \ frac {N_ {c}} {N_ {sq}} [/ math]
Donde [math] N_ {i} [/ math] es el número de salchichas en la región [math] i [/ math].
Conectando esto:
[matemáticas] \ frac {\ pi} {4} \ approx \ frac {13} {17} [/ math]
Por lo tanto:
[math] \ pi \ approx 4 \ times \ frac {13} {17} = \ frac {52} {17} [/ math]
Al conectar las matemáticas, esto le da:
[math] \ pi \ approx 3.0588 [/ math]
Esta no es una aproximación particularmente buena, pero de nuevo, ¡solo usamos 17 salchichas! ¡El 97% de precisión con solo 17 salchichas es bastante bueno!
Si arrojas 100 salchichas, obtendrías una mejor aproximación, y una mejor aún si usaras 1.000 salchichas.
Cuando utilizamos métodos de Monte Carlo como este, los hacemos en una computadora y los configuramos para que se repitan miles de veces, de modo que la aproximación es casi indistinguible de un cálculo “real”.
Si quieres obtener una buena respuesta, vas a necesitar muchas salchichas.
O, tal vez solo una computadora portátil, y la capacidad de escribir algo de Python.
… ..
…
Sin embargo, las salchichas suenan más divertidas, ¿no?
Como extra: fui y escribí una simulación de Monte Carlo increíblemente rápida y sucia en Python. Esto genera puntos abstractos dentro de un cuadrado, en lugar de salchichas, por lo que es claramente un método inferior, pero tiene la ventaja de poder hacerlo mientras está dentro y ¡llover!
importar al azar
nPoints = 1000000
nPointsInCclecle = flotante (0)
c = 0
mientras que c <nPoints:
x = 2 * random.random () – 1
y = 2 * random.random () – 1
si x ** 2 + y ** 2 <1:
nPointsInCircle + = 1
c + = 1
imprimir 4 * nPointsInCircle / nPoints
Le pedí que usara 1 millón de “salchichas”, y me dio:
3.142868
Esto es exacto a [matemáticas] 0.04 \% [/ math]
¡Sin embargo , un millón de salchichas es mucho !
